Entri Populer

Rabu, 29 Desember 2010

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

1. KALIMAT TERBUKA  
         Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat kalimat benar dan kalimat salah. Apakah dalam matematika juga terdapat kalimat benar dan kalimat salah?
Jawabannya: ya
Contoh kalimat benar dan salah dalam matematika:
a. Bilangan prima selalu ganjil
    Kalimat tersebut di atas adalah kalimat yang salah, sebab bilangan     prima juga ada yang genap, yaitu 2.

b. Jumlah 9 dan 17 adalah 26
     kalimat tersebut benar, sebab 9 + 7 = 26

A. PENGERTIAN KALIMAT TERBUKA
   
Perhatikan contoh-contoh kalimat berikut:
    a. adalah faktor dari 4
    b. X + 7 = 15
   Dari contoh di atas, contoh a dan b merupakan kalimat-kalimat yang             belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Kalimat seperti itu disebut             kalimat terbuka.

      
Kalimat “ adalah faktor dari 4” bernilai  benar jika lambang                          diganti 1,2, atau 4.
           Jika diganti 1, maka 1 adalah faktor dari 4. (benar)
           Jika diganti 2, maka 2 adalah faktor dari 4. (benar)
           Jika diganti 4, maka 4 adalah faktor dari 4. (benar)
           Jika diganti dengan bilangan-bilangan yang lain, maka akan diperoleh kalimat yang salah.

  Kalimat x + 7 =1 5, jika x diganti 8, maka akan manjadi kalimat benar,  dan jika x diganti dengan bilangan bukan 8, maka akan menjadi kalimat   salah.

   Lambang – lambang seperti x dan disebut  variabel atau  peubah. Pengganti dari variabel (peubah) sehingga kalimat terbuka menjadi kalimat       benar atau kalimat   salah disebut konstanta.

       Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.

       Kalimat yang memuat variabel (peubah) sehingga belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah) disebut  kalimat terbuka.

       Peubah  atau  variabel adalah lambang (simbol) yang dapat diganti oleh sembarang bilangan yang ditentukan.


B. PENYELESAIAN KALIMAT TERBUKA
    Setiap kalimat terbuka memuat variabel yang dapat diganti dengan   atau dengan anggota yang telah ditentukan. Pengganti dari variabel yang membuat kallimat terbuka menjadi kalimat benar disebut  penyelesaian.
            Contoh :
            a.  x + 6 = 25
                        pengganti x yang benar adalah 19
                        Jadi, penyelesaiannya adalah  x = 19
            b.  X adalah bilangan ganjil dan  x  variabel pada bilangan 3, 6, 9, 12, dan 15.
                        Pengganti  x yang benar adalah 3, 9, dan 15.
                        Jadi, penyelesaiannya adalah 3, 9, dan 15

Add caption
            Jika  tidak ada  pengganti variabel yang membuat kalimat terbuka      menjadi kalimat benar, maka kalimat terbuka tersebut  tidak mempunyai  penyelesaian.



2. PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

A. PENGERTIAN PERSAMAAN DAN HIMPUNAN PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

     Perhatikan kalimat terbuka x+1=5
kalimat terbuka tersebut dihubungkan oleh tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan.

      Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut  persamaan linear satu variabel.

      Jika x pada persamaan x+1=5 diganti dengan x=4 maka persamaan tersebut bernilai benar. Adapun jika x diganti bilangan selain 4 maka persamaan x+1=5 bernilai salah. Dalam hal ini, nilai x=4 disebut penyelesaian dari persamaan linear x+1=5.Selanjutnya, himpunan penyelesaian dari persamaan x+1=5 adalah {4}.

     Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut  penyelesian persamaan linear. Himpunan semua penyelesian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear.

Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan variabelnya berpangkat satu.

        a.     Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
ax + b = 0 dengan a ≠ 0.
            Contoh:
       Dari kalimat berikut, tentukan yang merupakan persamaan linear satu  variabel.
       a. 2x +3 = 5
       b. x2 – x = 2
       c. 2x + 3y = 6

Penyelesaian:
      a. 2x-3=5
        Variabel pada 2x-3=5  adalah x berpangakat 1, sehingga persamaan    2x-3=5             merupakan persamaan linear satu variabel.

     b. x2- x=2
        Variabel pada persamaan x2- x=2 adalah x berpangkat 1 dan 2. karena            terdapat x berpangkat 2 maka persamaan x2- x=2 bukan merupakan         persamaan linear satu variabel.

      c. 2x+3y=6
         Variabel pada persamaan 2x+3y=6 ada dua, yaitu x dan y, sehingga    2x+3y=6 bukan merupakan persamaan linear satu variabel.


B. HIMPUNAN PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL DENGAN SUBSTITUSI
        Dengan cara mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat yang bernilai benar.
Contoh.:
      Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x+4=7, jika x variabel pada himpunan bilangan cacah.

    Penyelesaian:
   Jika x diganti bilangan cacah, diperoleh

 - substitusi x= 0, maka 0 + 4 = 7 (kalimat salah)  

 - substitusi x= 1, maka 1 + 4 = 7 (kalimat salah)   

- substitusi x= 2, maka 2 + 4 = 7 (kalimat salah)   

- substitusi x= 3, maka 3 + 4 = 7  (kalimat benar) 

 - substitusi x= 4, maka 4 + 4 = 7 (kalimat salah)   

     Ternyata untuk x=3, persamaan x+4=7 menjadi kalimat yang benar.
     Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x+4=7 adalah {3}.


C. PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG EKUIVALEN
Perhatikan uraian berikut.
a. x – 3 = 5
       Jika x diganti bilangan 8 maka 8-3=5 (benar).
       Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8

 b. 2x – 6 = 10… (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)
       Jika x diganti bilangan 8 maka,   2 (8) – 6 = 10
                                                     Û    16 – 6 = 10 (benar)

      Jadi, penyelesaian persamaan 2x-6=10 adalah x = 8
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa kedua persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. persamaan – persamaan di atas disebut persamaan yang ekuivalen.

Dengan demikian bentuk
x – 3 = 5 dan 2x – 6 = 10 
dapat dituliskan sebagai
    x – 3 = 5 Û 2x – 6 = 10

Jadi,…..
       Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yana sama dan dinotasikan dengan tanda “Û

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:
a.      Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b.      Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

Contoh soal:
1.      Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
            4x – 3 =3x + 5 jika variabel pada himpunan bilangan bulat
Jawab…..
                         4x – 3 = 3x +5
            Û 4x – 3 +3  = 3x +5+3    (kedua ruas ditambah 3)
            Û           4x     = 3x +8
            Û 4x – 3x      = 3x – 3x +8 (kedua ruas dikurangi 3x)
           Û        x          = 8

            Jadi, himpunan penyelesaian persamaan 4x – 3 = 3x +5 adalah {8}

(Dalam bentuk pecahan)…..
            Tentukan HP dari persamaan  Jika variabel pada himpunan bilangan   rasional
            Penyelesaian :
            Cara 1…
         Û             4x – 3   = 3x + 5                 (kedua ruas dikalikan KPK dari 2 dan 5 yaitu10)
            Û        2x – 20     = 5(x – 1)
            Û 2x – 20 + 20   = 5x – 5 + 20         (kedua ruas ditambah 20)
           Û                 2x      = 5x + 15
           Û        2x – 5x      = 5x + 15 – 5x       ( kedua ruas dikurangi 5x)
           Û                   3x    = 15
            Û    (-3x) : (-3)    = 15 : (-3)               (kedua ruas dibagi -3)
            Û                    x    = -5
            Jadi HP persamaan tersebut adalah {-5}.



D. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN LINEAR SATU VARIABEL
       Grafik himpunan penyelesaian linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Contoh…………….
       Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2x + 3) = 10x + 8, jika x variabel himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

            Penyelesaian:
                      4(2x + 3)     = 10x + 8
           Û         8x + 12          = 10 x + 8
           Û    8x + 12 – 12      = 10 x + 8 – 12          (kedua ruas dikurangi 12)
           Û               8x             = 10 x – 4 
           Û     8x – 10x            = 10 x – 4 – 10x         (kedua ruas dikurangi 10x)
           Û               -2x            = -4
           Û       -2x : (-2)          = -4 : (-2)                    (kedua ruas dibagi -2)
           Û                x               =  2
            Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

            Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.
           
                        |       |      |       |      |             |      |      |       |       
                      -3    -2    -1     0    1      2      3    4     5     6     




3.PERTIDAKSAMAAN LINIER SATU VARIABEL
Dalam kehidupan sehari-hari,tentu kalian pernah menjumpai atau menemukan kalimat-kalimat seperti berikut:
a.    Berat badan Asti lebih dari 52kg.
b.   Tinggi badan Amir 7cm kurang dari tinggi badanku.
c.    Sebuah bus dapat mengangkut tidak lebih dari 55 orang.

      Bagaimana menyatakan kalimat-kalimat tersebut dalam matematika?


A. PENGERTIAN KETIDAKSAMAAN
            Agar kalian memahami pengertian ketidaksamaan,coba ingat kembali materi disekolah dasar mengenai penulisan notasi <, >, ≤,≥, dan ≠:

a.      3 kurang dari 5 ditulis 3 < 5.
b.      8 lebih dari 4 ditulis 8 > 4.
c.       x tidak lebih dari 9 ditulis x ≤ 9.
d.      Dua kali y tidak kurang dari 16 ditulis 2y ≥ 16.

     Kalimat- kalimat 3 < 5, 8 > 4, x ≤ 9, dan 2y ≥ 16 disebut ketidaksamaan.

      Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
   Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.

   “<“ untuk menyatakan kurang dari.
   “>” untuk menyatakan lebih dari.
   “≤” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
   “≥” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan


B. PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL
 Dibagian depan telah kalian pelajari bahwa suatu persamaan selalu ditandai dengan tanda hubung “=“. Pada bagian ini kalian akan mempelajari ciri suatu pertidaksamaan.

      Perhatikan kalimat terbuka berikut:
a.      6x < 18
b.      3p – 2 > p
c.       P + 2 ≤ 5
d.      3x – 1 ≥ 2x + 4

       Kalimat terbuka diatas menyatakan hubungan ketidaksamaan (<, >, ≤ atau ≥) disebut pertidaksamaan.

       Pada kalimat (a) dan (d) diatas masing – masing mempunyai satu variabel yaitu x yang berpangkat satu (linear). Ada pun pada kalimat (b) dan (c) mempunyai satu variabel berpangkat satu,yaitu p. 
Jadi,kalimat terbuka diatas menyatakan suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu.

Pertidaksamaan linier satu variabel,adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu(linier).


C. PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
       Pada bagian depan telah kalian pelajari cara menyelesaikan persamaan linear satu variabel, salah satunya dengan substitusi (penggantian). Hal ini juga berlaku pada pertidaksamaan linear satu variabel.

       Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2,dengan x variabel pada himpunan  bilangan asli.

            Jika x diganti 1 maka 10 – 3x > 2
                                              Û 10 – 3 x 1 > 2
                                              Û              7   > 2     (pernyataan benar)

            Jika x diganti 2 maka 10 – 3x > 2
                                         Û 10 – 3 x 2 > 2
                                         Û               4 > 2           (pernyataan benar)

            Jika x diganti 3 maka  10 – 3x > 2
                                         Û  10 – 3 x 3 > 2
                                         Û            1    > 2           ( pernyataan salah)

            Jika x diganti 4 maka    10 – 3x > 2
                                         Û    10 – 3 x 4  > 2
                                          Û                -2   > 2        ( pernyataan salah)
           
      Ternyata untuk x = 1 dan x = 2,pertidaksamaan 10 – 3x > 2 menjadi kalimat yang benar. Jadi, himpunan penyelesaian dari 10 – 3x > 2 adalah {1, 2 }.

     
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
      Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:
      Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5 dengan x  variabel pada himpunan bilangan cacah.

Penyelesaian:
      Dengan mengganti tanda “ > “ dengan “ = “ diperoleh persamaan
4x – 2 = 3x + 5.
      Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah  x = 7. Selanjutnya ambilah satu bilangan cacah yang kurang dari 7 dan lebih dari 7.

      Periksalah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4x – 2 > 3x + 5.
     Jika x diganti 6 maka 4 x 6 – 2 > 3 x 6 + 5
                                                      22 > 23                 ( bernilai
salah)
      Jika x diganti 8 maka 4 x 8 – 2 > 3 x 8 + 5
                                                       30 > 29                (bernilai
benar)

      Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4 x – 2 > 3x + 5 adalah {8 , 9 , 10 , ……..} 

      Berdasarkan contoh diatas, untuk menentukan penyelesaian
 pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut:


      a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dengan tanda “ = “. 

      b. Menyatakan kedalam pertidaksamaan yang ekuivalen.

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:
     Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan kedalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut;

a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama                                  tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.

b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang           sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.

c. Mengalikan atau membagi  ruas dengan bilangan negatif yang sama,          tetapi tanda ketidaksamaan  berubah, dimana :

                        1. > menjadi <;
                        2. ≥ menjadi ≤;
                        3. < menjadi >;
                        4. ≤ menjadi ≥;         



D. GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAA LINEAR SATU VARIABEL
       Grafik persamaan penyelesaian persamaan linear satu variable ditujukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik). Demikian hanya pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh soal:
       Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x – 2 ≤ 5 + 3x, untuk x variabel himpunan bilangan asli. Kemudian, gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian………
                              4x – 2   ≤ 5 + 3x
            Û     4x – 2 + 2    5 + 3x + 2         (kedua ruas ditambah 2)
            Û               4x   ≤  3x + 7
            Û     4x + (-3x)    3x + (-3x) +7   ( kedua ruas ditambah (-3x) )
            Û               x     ≤  7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1,2,3,…,7}.
Garis bilangan yang menunjukkan himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:


              |                               |       |       |
         0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10 
Add caption





4. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA BERKAITAN DENGAN PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

       Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan linear satu variabel biasanya disajikan dalam bentuk soal cerita.

       Untuk menyelesaikannya, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut.
            Kemudian, selesaikanlah!!!!!!.

            Contoh soal:
       Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60m, tentukan luas tanah petani tersebut.

Penyelesaian ………..
            Misalkan panjang tanah = x, maka lebar tanah = x – 6.
Model matematika dari soal di atas adalah p = x  dan l= x – 6, sehingga

                  K  = 2 ( p + l )     
                60 = 2 ( x + x – 6 )
                                       

                  x


x-6
                                                                
           

Penyelesaian model matematika di atas sebagai berikut:
            K           = 2 (p + l)
Û   60         = 2 ( x + x – 6)
Û   60          = 2 (2x – 6)
Û   60          = 4x – 12
Û   60 + 12= 4x – 12 + 12
Û   72          =  4 x
Û       x         =   18

            Luas    = p x l
                        = x ( x – 6)
                        = 18 (18 – 6)
                        = 18 x 12
                        = 216
            Jadi, luas tanah petani tersebut adalah 216.




5. MEMBUAT MODEL MATEMATIKA DAN MENYELESAIKAN SOAL CERITA YANG BERKAITAN DENGAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

            Contoh….
       Permukaan sebuah meja berbentuk persegi panjang dengan panjang 16x cm dan lebar 10x cm. jika luasnya tidak kurang dari 40 dm2, tentukan ukuran minimum permukaan meja tersebut.

@ Penyelesaian.
            Diketahui permukaan meja (p) = 16x, lebar (l) = 10x, dan luas = L
            Model matematika dari luas persegi panjang adalah
                    L = p x l
                        = 16x x 10x
                        = 160x2

Luas tidak kurang dari 40 dm2 = 4.000 cm2 dapat ditulis
        L = 160x2  ≥ 4.000, sehingga diperoleh
                160x2 ≥ 4.000
     Û         x2     ≥   25
     Û         x      ≥   5

Nilai minimum x = 5 cm, sehingga diperoleh
            p = 16x cm = 16 x 5 cm = 80 cm
            l  = 10x cm = 10 x 5 cm = 50 cm
Jadi, ukuran minimum permukaan meja tersebut adalah (80  x 50) cm.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

kritik dan saran sangat diharapkan demi kemajuan Blog ini. :)